Was ist hypergeometrische verteilung?

Hypergeometrische Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit der Anzahl von Erfolgen in einer Stichprobe ohne Zurücklegen aus einer endlichen Population beschreibt. Sie ist besonders relevant, wenn die Stichprobengröße im Verhältnis zur Populationsgröße signifikant ist.

Schlüsselkonzepte:

• Grundgesamtheit: Die Gesamtmenge, aus der die Stichprobe entnommen wird. (Grundgesamtheit)
• Stichprobe ohne Zurücklegen: Ein Verfahren, bei dem ein ausgewähltes Element nicht in die Population zurückgeführt wird, bevor das nächste Element ausgewählt wird. (Stichprobe%20ohne%20Zurücklegen)
• Erfolg/Misserfolg: Die zwei möglichen Ergebnisse, die ein Element haben kann.
• Parameter: Die hypergeometrische Verteilung wird durch drei Parameter charakterisiert:
  • N: Die Größe der Population.
  • K: Die Anzahl der Elemente in der Population, die als "Erfolg" klassifiziert werden.
  • n: Die Größe der Stichprobe.

Wahrscheinlichkeitsfunktion:

Die Wahrscheinlichkeit, genau k Erfolge in einer Stichprobe der Größe n zu erhalten, wird durch die folgende Formel gegeben:

P(X = k) = (C(K, k) * C(N-K, n-k)) / C(N, n)

wobei:

• C(a, b) der Binomialkoeffizient ist, der die Anzahl der Möglichkeiten darstellt, b Elemente aus einer Menge von a Elementen auszuwählen.

Erwartungswert und Varianz:

• Erwartungswert (μ): μ = n * (K / N)
• Varianz (σ²): σ² = n * (K / N) * ((N - K) / N) * ((N - n) / (N - 1))

Anwendungen:

Die hypergeometrische Verteilung wird in verschiedenen Bereichen eingesetzt, darunter:

• Qualitätskontrolle: Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass eine bestimmte Anzahl defekter Artikel in einer Stichprobe gefunden wird. (Qualitätskontrolle)
• Glücksspiele: Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, eine bestimmte Anzahl von Gewinnzahlen im Lotto zu ziehen.
• Umfrageforschung: Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass eine Stichprobe eine bestimmte Anzahl von Personen mit einer bestimmten Eigenschaft enthält.

Beziehung zur Binomialverteilung:

Die hypergeometrische Verteilung kann durch die Binomialverteilung approximiert werden, wenn die Stichprobengröße im Verhältnis zur Populationsgröße klein ist (n/N < 0.1). In diesem Fall ändert sich die Wahrscheinlichkeit, einen Erfolg zu erzielen, kaum, wenn Elemente aus der Population entfernt werden. (Binomialverteilung)